DAI NUMERI NATURALI AI NUMERI RELATIVI, MOLTIPLICATORI E DIVISORI
”… alla classe dei numeri relativi appartengono anche i numeri preceduti dai segni di moltiplicato e di diviso, visto che quei segni indicano incrementi e decrementi come il + ed il – “.
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Imparare a contare è stata per gli uomini una delle attività più prodigiose della mente. Omero (8° sec. a.C. ?), nella sua Odissea, racconta del ciclope Polifemo che avrebbe fatto, nell’antro della sua abitazione, la conta delle pecore, quando l’astuto Ulisse e compagni progettarono di accecarlo. Come ha Polifemo imparato a contare se a quel tempo non si aveva l’idea di numero (i numeri, pur ignorandoli, certo preesistevano, se sono nati assieme alla comparsa dell’universo)? La tecnica adottata non solo dal ciclope ma anche da uomini appartenenti a precedenti civiltà, come quella indoeuropea, risulta sorprendentemente semplice! Per Poliremo bastava incidere un segno sulla parete, una specie di lavagna che avrebbe dovuto memorizzare, attraverso quel segno, l’esistenza di una qualsiasi pecora. Veramente geniale la trovata, per quei tempi! Senza saperlo, Polifemo ed i primi uomini avevano scoperto la nozione di “relazione”, la corrispondenza logica di tipo “ un” con “un” (gli “un” sono articoli indeterminativi, non numeri!). Per Polifemo ad “un” segno inciso sulla parete doveva corrispondere la presenza di “una” pecora. La stessa logica, faceva corrispondere, contemporaneamente, ad “una” qualsiasi pecora “un” segno. Iterando il metodo per contare, risultavano sulla parete, alla fine, “tanti” segni “quanti” erano le pecore e quindi “tante” pecore “quanti” erano i segni. Questo elementare algoritmo, procedura logica che consentì ai primi uomini di “contare” senza sapere affatto che cosa fosse un numero, non è altro che la relazione logica di “corrispondenza biunivoca tra due insiemi”, uno dei pilastri dell’algebra astratta moderna.
Con l’avvento della teoria degli insiemi la matematica raggiunge il massimo grado di astrazione, svanisce del tutto qualsiasi traccia sulla nozione di “quantità” degli enti matematici (punto, retta, piano, numero…ecc.) concetti, quest’ultimi, di natura eminentemente qualitativa. I discorsi matematici moderni iniziano con l’introduzione del concetto di “Insieme”, una nozione primitiva (e quindi non si può definire) intuitivamente semplice.
Polifemo, scontato che riuscisse a contare le pecore allorché rientravano e/o uscivano dalla caverna, possiamo dire che, inconsapevolmente, stabilì una corrispondenza biunivoca tra l’insieme costituito da tutte le sue pecore(P) e l’insieme formato da tutti i segni(S) che aveva apposto sulla parete. Nel confrontare, attraverso l’esperienza, gli elementi dei due differenti insiemi arrivò alle tre seguenti possibili conclusioni: 1. (P) =(S) ; 2. (P) < (S) ; 3. (P) >(S) . Al ciclope, dopo la conta, interessava la conclusione 2. , perché in tal caso sarebbe stato provato che qualcuno gli aveva rubato almeno una pecora!
E’ stata la nozione di equipollenza, equipotenza, uguaglianza tra due insiemi, che si verifica allorquando esiste la corrispondenza biunivoca tra tutti gli elementi di ciascun insieme, che ci ha consentito di intuire l’essenza del concetto di “Numero Naturale”, quel numero rappresentato anche oggi con le dita delle nostre mani o con elementi presenti in natura: alberi, pietre, persone, ecc..
I due termini “Tanti , Quanti” stabiliscono la relazione di uguaglianza di due qualsivoglia insiemi. Ad essi, arbitrariamente si è associato un segno! Preso, ad esempio, l’insieme costituito da una coppia di faggiani e l’insieme costituito da una coppia di sposi, noi associamo, per loro, un segno che vuole contraddistinguere l’universo che raccoglie gli insiemi di tutte le coppie. Tale segno “ 2 “ lo leggiamo “due”.
Allo stesso modo il segno “0”, che leggiamo “zero”, viene fuori dall’universo di tutti gli insiemi in cui ciascuno risulta privo di elementi.
Con tale procedura, che poggia sul concetto di corrispondenza biunivoca tra due o più insiemi, possiamo contraddistinguere quelli che sono tra loro equipotenti con segni tipo: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 e intuire il significato sottinteso dalle cifre arabe che giornalmente usiamo.
Dati i diversi numeri (e questo è un ulteriore progresso compiuto dagli uomini), si sarebbe potuto ottenerne la somma, la differenza, il prodotto o il quoziente con applicazione dei segni di operazione) +, -, x, : .
I numeri naturali possono essere addizionati, sottratti, moltiplicati e divisi. I segni +, -, x, : sono, osserva Peano, segni di relazione (la relazione utile a calcolare). Per Peano, come sottolinea Franco Spisani nella sua Teoria generale dei numeri relativi (Bologna, 1983), non sarebbero però segni di appartenenza (non apparterrebbero al numero come proprietà diversamente da quanto si verifica per i numeri pari e dispari).
Nondimeno, ricorda Spisani, Michele Stifel (1487-1567), messi da parte gli studi profetici e le lezioni universitarie a Jena, vide nelle cantine dei vinai quei segni + e – con cui i vinai stessi erano soliti indicare la quantità maggiore o minore di vino contenuta nelle botti rispetto a quanto solitamente prevedevano che vi si dovesse trovare.
Evidentemente i segni + e – non erano soltanto strumenti per calcolare e quei segni di + e – appartenevano al numero, può concludere Spisani, come segni di appartenenza (proprietà dei numeri) e non di semplice relazione.
Si ebbero in quel modo i numero relativi positivi e negativi. Il limite di Stifel, precisa a questo punto Spisani, fu di non aver considerato che alla classe dei numeri relativi appartengono anche i numeri preceduti dai segni di moltiplicato e di diviso, visto che quei segni indicano incrementi e decrementi come il + ed il - .
Spisani svolge così la teoria generale dei numeri relativi, applicando le regole di trasformazione dei segni anche ai segni di moltiplicato e di diviso.
Questi nuovi numeri, se con segni uguali, per quanto dimostrato da Spisani, sono sempre numeri relativi moltiplicatori; tali numeri, con segni diversi, sono invece numeri relativi divisori.
Esempio:
(x2) x (x 4) = (x 8);
(: 4) : (: 2) = (x 2),
allo stesso modo di
(+ 2) + ( + 4) = (+ 6);
(- 4) – (- 2) = (- 2).
Esistono, osserva Spisani, 52 regole di trasformazione dei segni di appartenenza dei numeri relativi moltiplicatori e divisori, che si aggiungono alle 4 regole di trasformazione dei numeri positivi e negativi.
Inoltre (x) + (x) = (x), come (x) – (x) dà (x) quando il sottraendo è minore del minuendo, ma (x) – (x) = (- x) perché il sottraendo è maggiore del minuendo.
Esempio:

(x 4) – (x 2) = (x 2);
(x 2) – (x 4) = (- x 2).
Nasce e sviluppa la teoria generale dei numeri relativi moltiplicatori e divisori: è un’ulteriore estensione (io direi completamento) dell’universo del calcolo matematico dei numeri relativi. Su questo punto intendo ritornare. Ogni numero relativo positivo o negativo può anche essere numero relativo moltiplicatore e divisore preceduto dal segno - o dal segno +.
Inoltre ( + x n) – (- x n) = 0.

Bruno Gallo

BRUNO GALLO E FRANCO SPISANI